Figure equiangole
Una figura equilatera ha tutti i lati uguali: un rombo è un quadrilatero equilatero.
Una figura equiangola ha tutti gli angoli uguali: un rettangolo è un quadrilatero equiangolo.
Gli angoli dei poligoni equiangoli rispondono a una regola ferrea: sono delle frazioni di 180° e per di più delle frazioni molto particolari. Se vogliamo un poligono equiangolo di n lati, allora i suoi angoli devono valere (n-2)/n 180°.
Vero, no?
Così i triangoli equiangoli hanno angoli di 60°: n=3 e (n-2)/n=1/3.
I quadrilateri equiangoli hanno angoli di 90°: n=4 e (n-2)/n=1/2.
E così via.
Mi sono chiesto: cosa sappiamo dire di una figura equiangola che abbia come angolo una frazione qualsiasi di 180°?
Ovvero: che figura compare se impongo che tutti i suoi angoli valgano p/q 180° (dove p/q è una frazione a piacere)?
Ho fatto la prova con GeoGebra scegliendo p=5 e q=12, vale a dire con un angolo sempre uguale a 75°. Ho ottenuto questa bella figura.
Naturalmente, non è comparso un poligono: la figura non poteva essere convessa…
Con un angolo di 75° si ottiene una figura di 24 lati.
Non ho ancora fatto congetture, ma mi piacerebbe che ragionandoci su scoprissimo quanti lati ha la figura equiangola con angolo di p/q 180°.
A voi la palla.
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Problema molto carino, e meno semplice di quello che potrebbe sembrare a prima vista.
Faccio però notare che oltre a essere equiangola la figura che hai realizzato è anche equilatera. Mantenendo solo lo stesso angolo e utilizzando lati di lunghezza arbitraria si possono ottenere cose molto diverse.
Immagina la stella a cinque punte: l’angolo è di 1/5 π. Prendi ora il segmento orizzontale e immaginati di tracciarlo, sempre orizzontale, più in alto o più in basso, allungando o accorciando alla necessità i due lati contigui.
Questo procedimento genera ancora figure equiangole che non sono più la stella. E sono anche più brutte…
Restringiamo quindi la ricerca alle stelle equilatere, al momento…
Quello che dici è vero.
Scegliere la stella equiangola permette di vedere le cose più semplicemente.
Naturalmente si può sostituire a ogni lato un segmento parallelo (di lunghezza opportuna) e l’equiangolitudine rimane.
La domanda che mi interesse è: dato l’angolo quanti sono i lati?
E per rispondere si può usare una stella più regolare, se facilita la visione…
Daniele,
eh, carini i tuoi problemi
e io …mi butto!
Direi che:
ponendo p/q la frazione di 180°,
si ottiene un poligono equiangolo (p/q*180)°, di q o multiplo di q, lati.
Se la soluzione dell’equazione:
(x-2)/x = p/q è un numero naturale, si ha un poligono convesso, se è un razionale (non naturale) si ha un poligono stellato.
Preciso che le mie prove mi portano a q lati oppure a 2q lati.
…speriam bene!:)
g
Giovanna, ciao
Io la soluzione non ce l’ho ancora e mi piacerebbe costruirla tutti assieme.
Devo notare che quello che dici non è corretto: i poligoni convessi corrispondono a (n-2)/n che NON sono numeri naturali, ma valgono 1/3 per i triangoli, 1/2 per i quadrati, 3/5 per i pentagoni ecc. ecc.
Credo anch’io che la via dei multipli sia buona: facciamo altri esperimenti e vediamo cosa ne esce.
no no, Daniele,
evidentemente mi sono spiegata male.
certo (n-2)/n … non sono naturali.
E’ la soluzione dell’equazione
(x-2)/x = p/q
che può essere un numero naturale.
inizierei con le limitazioni:
0<p<2q ovvero 0<p<360°
se p=q la figura potrebbe essere una circonferenza con infiniti lati.
poi bisogna distinguere il caso in cui p
il caso in cui p
ok è impazzita sta pagina. Riscrivo a parole i due casi (sperando che non me li cambi):
p minore di q, p maggiore di q
se risolviamo l’equazione (n-2)/n = p/q (ricordandosi anche che n deve essere maggiore di 2) otteniamo:
n= (-2p)/(p-q) e questo è il numero di lati, che chiaramente deve essere un numero positivo e intero e maggiore di 2.
Per essere positivo, (p-q)e q devono avere segno opposto. Questa restrizione è comunque inclusa in n maggiore di 2, che da’ come risultato la disequazione: p/(p-q) minore di 0.
Imporre che n sia intero è un po’ più complesso.
Mi sono dimenticato di definire p e q. Sono entrambi numeri interi positivi (volendo si può estendere la definizione, ma così è più semplice).
Per ritornare al problema di n intero, una soluzione la conosciamo già ed è:
q=p+2 e quindi n=p+2 o ancora n=q. Questa soluzione la ricaviamo dalla serie che già conosciamo: 1/3 ; 2/4 ; 3/5; 4/6; …
Il problema è capire se ci sono altre soluzioni..
Ciao,
faccio notare che fissato l’angolo
esistono figure equiangole con l’angolo dato ma numero di lati diverso …