Pi greco quadro

Problema geometrico

Categoria: problemi by daniele 27.02.2010

6 commenti on “Problema geometrico”

1. Claire Beaux says
   

   Io ho provato, ma mi vergogno della mia soluzione….mi sembra un po’ banale…ho applicato la similitudine tra poligoni e la relazione fra aree e lati omologhi. Sono sulla buona strada o sto delirando??? ciao

2. daniele says
   

   La strada è buona. Il punto è: quali poligoni? Su che figure lavori per similitudine?
   Non vergognarti e condividi la risposta.

3. Claire Beaux says
   

   Io ho considerato il trapezio di partenza e quello “superiore” cioè con base maggiore il segmento incognito. Usando Talete ho dedotto che sono simili e utilizzato la proprietà che le misure delle aree di poligoni simili stanno fra loro come i quadrati delle misure di due lati omologhi.cioè: A[sup]:A[inf]=5^:x^2.

4. Claire Beaux says
   

   Ho sbagliato a scrivere: A[sup]:A[inf]=5^2:x^2….spero si capisca…

5. giovanna says
   

   Ciao, Daniele e Claire Beaux.
   A me quel rapporto di similitudine non … torna
   Io risolvo algebricamente. Cerco di scrivere qui i passaggi.
   Simbologia:
   A_7 = Area trapezio di origine (gli attribuisco area = 7)
   h_7 = altezza trapezio origine
   A_4 = area trapezio superiore (area = 4)
   h_4 = altezza trap. sup.
   A_3 = area trap inferiore
   h_3 = altezza trap inf.
   Quindi:
   (5+2)*h_7 /2 = 7
   da cui:
   h_7 = 2

   (5+x)*h_3 /2 = 3
   da cui:
   h_3 = 6/(5+x)

   (2+x)*h_4 /2 = 4
   h_4 = 8/(2+x)

   Si ha:
   h_4+ h_3 = h_7
   quindi:
   8/(2+x) + 6/(5+x) = 2
   che conduce a:
   x^2 = 16
   e dunque:
   x = 4

   Geometricamente, per ora mi viene solo per costruzione ..con geogebra!

   saluti!
   g
   Ps: questo per i miei ragazzi mi pare impegnativo.
   Avevano invece risolto con successo il problema della relazione x&y. Anche con i due ragionamenti diversi, alcuni di essi in un modo, altri, l’altro. Così abbiamo avuto modo di applicare la distributiva al calcolo letterale. (Che ancora non abbiamo trattato in modo sistematico, ma… è così che si apprende…:-)
   Non abbiamo fatto in tempo a lasciare il commento. Grazie ancora, Daniele.

6. daniele says
   

   x=4 è la soluzione che trovo anch’io. Provo a dirvi come ragiono per similitudine.

   1. Prolungo i lati del trapezio fino a farli incontrare e trovo un triangolo. Le basi e il segmento ignoto tagliano il triangolo dando vita a triangoli che gli sono simili.

   2. Chiamo A(5) l’area di tutto il triangolo; A(2) l’area del triangolo delimitato dalla base minore; A(x) l’area del triangolo determinato dal segmento che ci interessa.

   3. Dato che sono simili, possiamo scrivere A(5)=5^2A(1); A(2)=2^2A(1); A(x)=x^2A(1).

   4. L’area del trapezio è A=A(5)-A(2)=21A(1).

   5. Poiché il segmento divide il trapezio in due parti delle quali l’una è i quattro terzi dell’altra, l’area di tutto il trapezio è i sette terzi di questa seconda parte.

   6. A=7/3(A(5)-A(x)) e sostituendo… 21A(1)=7/3(5^2A(1)-x^2A(1)) che diventa 9=25-x^2

   7. Unica soluzione, x=4

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